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现代数学的发展
第二次世界大战以来，由于技术和工业的迅速发展，带动了数学向应用
方向的发展。运筹学的诞生是这方面最突出的例子，它包括以下 4 个主要分
支。
对策论。1944 年冯·诺依曼和摩根斯特恩（Oskar．Mor…genstern）合
著的《对策论与经济行为》奠定了现代对策论的基础，把对策研究从古代的
军事政治领域扩大到了社会经济生活领域。
规划论。它主要研究计划和管理工作中的安排与估值问题，用数学语言
描述便是：研究某一目标函数在一定约束条件下的最大值和最小值问题。通
俗的例子是：要去某地时，考虑有几条路可走，走哪一条最快最省力。它的
内容包括线性规划、非线性规划、动态规划等。前苏联科学家康特洛维奇 1939
年出版的《生产组织与计划中的数学方法》是这方面的早期著作。50 年代以
来西方出版了许多规划论著作。
排队论。它的目的是解决“怎样才能使服务系统的效率最高”的问题。
1908 年出版的丹麦人爱尔朗（A．K．Erlang）的《排队论在丹麦电话系统中的
使用》是这方面最早的著作。随着本世纪服务性行业的发展，排队论的研究
和应用都有了新的进步。
最优化方法。F．约翰于 1948 年发表的《以不等式作附加条件的极值问
题》一文是这方面最早的文献。最优化方法也就是寻找最好的方式，以达到
最优的选择或目标。1953 年，美国人 J．基弗提出了优选法中的 0．618 法。中
国数学家华罗庚（1911～1985）推动了优选法在工生产方面的应用。
突变论是法国人托姆于 1968～1972 年间创立的一种新的数学学科。英国
人齐曼、前苏联科学家阿诺尔德等人都先后发表了一些突变论内容的文章。
这些最早从事突变论研究的人原先都从事拓扑学研究（拓扑学是 19 世纪以来
发展起来的一门数学学科。最初的拓扑学研究图形弯曲、变形、拉大、缩小
后仍然保留的性质，现代拓扑学是研究微分流形的拓扑学）。传统的数学分
析主要着眼于连续函数，对发散和间断的函数曲线无能为力，突变论试图对
系统的不连续过程和状态跳迁进行数学分析。
模糊数学方面最早的文献是美国加州大学札德（L．A．Zadeh）于 1965 年
发表的《模糊集合》一文。这是一个崭新的概念。传统的数学是精确的科学，
所处理的是概率等于 1 的值或事件。模糊数学处理的值是一个连续的量，概
率在 1 和 0 之间（最浅显的例子是仅仅根据人的声音来判断这个人是谁）。
从某种意义上，模糊数学衬托出了传统数学的局限性，界定了传统数学的范
围，提出了全新的数学概念，突破了原有的数学领域。目前模糊数学在模式
识别中已有了成功的应用。
概率论是研究大量偶然现象的数学学科。卡当、塔塔利亚、帕斯卡、费
尔玛、惠更斯等人最早研究了赌博中的概率。雅各·伯努利的《猜度术》、
英国人德莫瓦佛的《机会的学说》和辛普生的《论机会的性质与规律》法国
人布丰的《或然算术试验》和拉普拉斯的《分析概率论》等，都是概率论的
早期著作。20 世纪 30 年代，前苏联科学家柯尔莫果洛夫给出了影响很大的
概率公理体系。
数理统计是概率在具体领域中的推广。它的中心任务是研究怎样合理地
搜集资料，并利用这些资料对随机变量的数学特征、分布函数进行估计、分
析和推断。英国人费歇尔（1890～1962）是数理统计学科的奠基人。
20 世纪出现的综合科学
信息论
1948 年，美国的应用数学家申农与韦弗合作所写的《通信的数学理论》
一书出版，标志着信息论的产生。在书中，申农给出了测量每个消息平均信
息量的数学公式（概率和对数形式）。申农避开了具体的通讯系统，认为一
般的通讯系统包括信息源、发送机、信道（传输信号的渠道）、接收机、消
息接受者等 5 个部分，从而避开了复杂的语义问题，而仅仅从技术和数学关
系的方面来研究消息的传递，使问题显得简单化了。
申农指出，可以通过改变信源编码来降低多余度，使信源与信道匹配，
使信源上的平均信息量等于信道容量。这便是申农的所谓信源编码原理。这
个结论具有重要的理论意义。在这个原理的指导下，50 年代出现了信息率较
高的编码和纠错码。信源编码原理对提高信息的传递效率有理论指导意义。
60 年代以来，为适应图像识别和视觉研究的需要，在模糊数学的基础上
产生了与申农的概率信息论完全不同的模糊信息论。70 年代以来，又有人提
出了有效信息、语义信息、无慨率信息（主观信息）、广义信息等新的信息
概念。显然，信息已不再仅仅是通信领域中的概念，而和人类社会生活的各
个方面联系起来了。70～80 年代的未来科学家认为人类正在走向信息社会，
信息和材料、能源一起被视为人类文明的三大支柱。信息论的方法正在被应
用到生物学（含神经生理学）、物理学、化学、心理学、经济管理、电子学、
人工智能、控制论、系统论等一系列学科。一个内容广泛的信息论正在成长。
控制论
控制论是用数学工具研究控制机构或控制系统运行一般规律的科学。汉
代的记里鼓车，北宋苏颂等人发明的水运仪像台和钟等，以及瓦特发明的蒸
汽机中，都有控制机构。
一般来说，控制论产生时所涉及的系统主要是单输入单输出的线性系
统。50 年代的控制论主要处理单输入单输出的自动调节系统，采用建立在传
递函数和频率特性基础上的动态分析和综合方法，称之为经典控制理论。
60 年代以来，大量的工程实践，特别是空间技术的发展，提出了全新的
控制问题。以火箭运载的卫星、飞船、导弹等的飞行为例：火箭的质量特性
要用变质量力学来描述；控制是在远距离上实现的；火箭的距离、速度、加
速度、飞行姿态、多级工作程序等参数都需要控制，因而是一种多输入多输
出的多路控制；控制要求高度精确；地面系统复杂而庞大，控制问题复杂。
在这种情况下，产生了现代控制理论。
一般认为，现代控制理论的奠基者是匈牙利出生的美国人卡尔曼。
70 年代以来，控制论的发展日益同电子计算机的发展联系在一起，同时
又包括战略防御系统、经济管理系统、生态系统、社会系统等大系统理论问
题联系在一起，受到了人们的日益重视。
系统论
现代系统论的发展有两个主要线索，一个是从研究生物有机体角度产生
的一般系统论，另一个是从研究技术工程及劳动管理角度产生的系统工程
学。
一般系统论的知识基础是近代生物学。1924～1947 年间，奥地利出生的
美国生物学家贝塔朗菲（1901～1971）在他先后发表的一系列论文和著作中
提出了有机体系统和一般系统论的思想。1948 年，贝塔朗菲又出版了《生命
问题》一书，书中描述了系统思想在哲学史上的发展，认为不论系统的种类、
组成部分的性质及其关系有何区别，存在着适用于一般化系统及其子系统的
模式，可以用逻辑和数学方法来确定适用于一般系统的原则。贝塔朗菲的工
作标志着一般系统论的诞生。
系统工程本质上是一种以运筹学为工具和方法的工程管理学。古代埃及
人修建金字塔、大禹治水、李冰对都江堰工程的设计和实施等，都体现了将
工程视为一个整体来统筹安排和实施的系统思想。
40 年代初，系统工程一词开始被使用。第二次世界大战期间，英美两国
先后组织了由各学科专家组成的运筹学小组，为某些作战和后勤问题的决策
提供依据。战后，美国于 1948 年成立了研究和发展公司——兰德公司，这个
公司的鲍里斯小组创造了大系统分析的数学方法。几十年来，公司的专家们
运用系统分析的方法，考察决策者面临的全部问题，提出可能的解决方案，
比较它们的结果，为美国政府和军事部门提供咨询和出谋划策，产生了很大
的影响。1957 年，美国密执安大学的古德（H．G